O estudo das relações trigonométricas foi fundamental para a disseminação da Matemática. As inovações que surgiram através dessas relações e suas aplicações são inúmeras e em muitas áreas do conhecimento.

As relações trigonométricas são estudadas com base em um triângulo retângulo(aquele que possui um ângulo de 90°). Vamos lembrar dos nomes dos lados de um triângulo retângulo:

Definindo o cosseno de um ângulo

O cosseno de um ângulo é a razão entre o Cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa. Assim, a relação cosseno depende do ângulo considerado, veja:

Em relação ao ângulo α:

cos(α)=cateto adjacente a αhipotenusa

cos(α)=ACBC

cos(α)=ba

Cosseno dos ângulos notáveis

Existem alguns ângulos, que chamamos de notáveis, onde o valor do cosseno é facilmente calculável, são eles 30°, 45° e 60°. Vamos ver as deduções:

cos(60^o):

Considere um triângulo equilátero de lado x.

cos(60o)=x/2x=x2⋅1x=12

cos(30^o):

cos(30o)=hx

Como o triângulo é equilátero, a medida da altura será:

h=x3√2

Assim:

cos(30o)=x3√2x=x3√2⋅1x=3√2

Para o cos(45^o) teremos:

cos(45o)=xx2√=12√

cos(45o)=12√⋅2√2√=2√2

Podemos organizar a seguinte tabela:

Exemplo prático:

Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus catetos medem 6 e 8. O cosseno de α mede:

cos(α)=810

cos(α)=0,8

Função cosseno

Definimos a função cosseno como f(x)=cos(x).

Lembrando alguns conceitos do Círculo Trigonométrico, fica claro que a função cosseno tem imagem [-1,1], ou seja -1 ≤ cos(x) ≤ 1, para todo x real.

O cosseno de um ângulo sempre estará sob o eixo das abscissas (x). Nesse sentido, o cosseno de um ângulo será sempre positivo no 1º e 4º quadrantes e negativo no 2º e 3º quadrantes.

Gráfico da função cosseno

Vamos ilustrar o gráfico da função cosseno. Para isso, vamos construir uma tabela e, a partir dela, o gráfico:

Exemplos:

Calcule a medida de x no seguinte triângulo, sabendo que cos(30o)=3√2.

cos(30o)=x10

3√2=x10

2x=103–√

x=103√2

x=53–√

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Trigonometria. Vol. 3. São Paulo: Atual, 1995.