O estudo das relações trigonométricas foi fundamental para a disseminação da Matemática. As inovações que surgiram através das relações trigonométricas e suas aplicações, são inúmeras e em muitas áreas do conhecimento.
As relações trigonométricas são estudadas com base em um triângulo retângulo(aquele que possui um ângulo de 90°). Vamos lembrar dos nomes dos lados de um triângulo retângulo:
A tangente de um ângulo é a razão entre o Cateto Oposto e o Cateto adjacente a esse ângulo. Assim, a relação tangente depende do ângulo considerado, veja:
Em relação ao ângulo
Existem alguns ângulos, que chamamos de notáveis, onde o valor da tangente é facilmente calculável. São eles 30°, 45° e 60°. Vamos ver as deduções.
Como o triângulo é equilátero, a medida da altura será:
Para o tg(45º) teremos:
Podemos organizar a seguinte tabela:
| 30o | 45o | 60o | |
| 1 |
Exemplo prático:
Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus catetos medem 6 e 8. A tangente de
Definimos a função tangente como:
Lembrando alguns conceitos do Círculo Trigonométrico, fica claro que a função tangente tem imagem Real, ou seja, é válida para todo x real.
A tangente de um ângulo sempre estará paralela ao eixo das ordenadas (y). Nesse sentido, a tangente de um ângulo será sempre positiva no 1º e 3º quadrantes e negativo no 2º e 4º quadrantes
Vamos ilustrar o gráfico da função tangente. Para isso, vamos construir uma tabela e, a partir dela, o gráfico:
| x | f(x) = tg(x) |
| 0 | 1 |
| 0 | |
| 1 |
.
As retas onde a função tangente não existe, ou seja,
Exemplos:
Calcule a medida de x no seguinte triângulo, sabendo que
Referências:
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Trigonometria. Vol. 3. São Paulo: Atual, 1995.